اینجا بود که «کسر» پدید آمد. برای مثال اگر دو نفر سهم برابر داشته باشند یا سه نفر چیزی را سه‌قسمت کنند، کسر راه ساده‌ای برای بیان این تقسیم بود. کسر امکان می‌داد واحد را کوچک‌تر کنیم و به هر تعداد که خواستیم تقسیم کنیم.
ولی مقایسهٔ اندازهٔ کسرها آسان نبود. مثلا نمی‌توانستیم فوراً بگوییم ۳/۷ بزرگ‌تر است یا ۵/۱۱. پس انسان «عدد اعشاری» را معرفی کرد. به این ترتیب 1/2=0.5 و 1/4=0.25 شد. همان‌طور که اعداد طبیعی با توان‌های ۱۰ بزرگ می‌شوند، اعشار هم با توان‌های ۱/۱۰ کوچک می‌شود.
اما اعشار هم محدود بود. برخی کسرها مثل 1/2 یا 1/4 ساده بودند، اما 1/3 یا 1/7 فقط با تقریب قابل بیان بودند (۰٫۳۳۳۳… یا ۰٫۲۷۲۷…). اینها «اعداد اعشاری نامتناهی تکرارشونده» شدند.
کسرها در تمدن‌های باستانی شناخته شده بودند، اما اعشار تنها در سدهٔ شانزدهم اروپا و پس از تثبیت دستگاه دهدهی پدید آمد. سپس مسئلهٔ تازه‌ای پیدا شد: وقتی باید عدد کوچک‌تری را از بزرگ‌تر کم می‌کردیم (مثل ۳-۵+۸=۶)، «۳-۵» بی‌معنا به نظر می‌رسید. این‌گونه بود که انسان «عدد منفی» را ابداع کرد. منفی‌ها بعدها برای بیان مفاهیم واقعی مثل «بدهی» یا «زیان» هم به کار رفتند. نخستین‌بار آسیایی‌ها (چین و هند) منفی‌ها را به‌کار بردند؛ اروپا تنها در دورهٔ رنسانس آنها را پذیرفت.
جان والیس (John Wallis، ۱۶۱۶–۱۷۰۳) ریاضی‌دان انگلیسی، برای توضیح خط اعداد گفت: «اگر دو یارد به عقب و سپس شش یارد به جلو بروید، در کجا خواهید بود؟» او محور اعداد را با صفر در وسط و مثبت در راست و منفی در چپ معرفی کرد. بدین ترتیب «اعداد صحیح» (شامل مثبت‌ها، منفی‌ها و صفر) شکل گرفتند.
بعد بشر با اعداد تازه‌ای روبه‌رو شد: در یک مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین با اضلاع ۱، طول وتر برابر با √2 است. اما هیچ عدد طبیعی یا کسری نبود که مجذورش ۲ شود. پس «عدد جدیدی» لازم بود. این همان «عدد گنگ» (irrational number) است.
اعداد گنگ تنها √2 نیستند، بلکه π (عدد پی)، نسبت طلایی (۱٫۶۱۸…) و عدد طبیعی e (۲٫۷۱۸…) هم از همین دسته‌اند. ویژگی آنها این است که در اعشارشان هیچ الگوی تکرارشونده‌ای وجود ندارد. در مقابل، اعداد کسری (rational numbers) همواره در اعشار به‌صورت دوره‌ای تکرار می‌شوند. جالب اینجاست که در زبان چینی/کره‌ای ترجمهٔ «rational» به «یُری» (یعنی «دارای منطق») یک خطای ترجمه‌ای بوده، و در واقع معنای درست آن «دارای نسبت» است. بنابراین بهتر است به‌جای «یوری‌سو/موری‌سو» (عقلانی/غیرعقلانی)، بگوییم «اعداد نسبی/غیرنسبی».
مجموعهٔ همهٔ این اعداد – طبیعی، کسری، اعشاری، صحیح، نسبی و گنگ – همان چیزی است که «اعداد حقیقی» (real numbers) می‌نامیم. هر نقطه روی خط اعداد بی‌نهایت، متناظر با یک عدد حقیقی است.
اما داستان اینجا متوقف نشد. انسان عددی را تصور کرد که مجذورش منفی باشد، چیزی که در جهان واقعی وجود ندارد. این شد «عدد موهومی» (imaginary number).
تاریخ اعداد در حقیقت داستان حرکت انسان از «دیدنی‌ها» به سوی «نادیدنی‌ها»ست. از طبیعی‌ترین اعداد آغاز شد و تا اعدادی که تنها در تخیل جای دارند ادامه یافت. این روند شبیه مسیر هنر است: از کلاسیک واقع‌گرا تا نقاشی انتزاعی.
و پرسش پایانی: در آینده چه عدد تازه‌ای پدید خواهد آمد؟ صد سال دیگر، ریاضیات و هنر چه چهره‌ای خواهند داشت؟ هیچ‌کس نمی‌تواند بداند.